作者plover (笨根根喜欢你 (^c^)y▂ξ)
看板trans_math
标题Re: [微积] 请问一题关於Dirichlet函数的证明
时间Fri Oct 12 22:08:20 2007
※ 引述《hanabiz (茄草子)》之铭言：
: ※ [本文转录自 Math 看板]
: 作者: hanabiz (茄草子) 看板: Math
: 标题: [微积] 请问一题关於Dirichlet函数的证明
: 时间: Wed Oct 10 23:17:21 2007
: Dirichlet函数
: f(x) = 1,x rational
: = -1,x irrational
: 处处不连续
: 请用ε,δ来证明
: 这题我百思不得其解....麻烦各位高手救我@@
严格写仔细.
(1) 当 a 是有理数, 我们证明 f(x) 在 x = a 上面是不连续的,
即说明存在 ε_0 > 0, 对任意的 δ > 0, 皆存在一点 x in (a-δ,a+δ)
使得 | f(x) - f(a) | ≧ ε_0. 我们也不罗唆直接取 ε_0 = 1.
接着对任意的 δ > 0, 我们只要找到 irrational number x in
(a-δ, a+δ) 就可以了 (这样 | f(x) - f(a) | = 2 ≧ 1.)
当 δ 是有理数, 取 x = a + δ/√2, x 为无理数
当 δ 是无理数, 取 x = a + δ/2, x 为无理数.
(2) 当 a 是无理数. 对任意的 δ > 0, 我们只要找到有理数 x in
(a-δ, a+δ) 就可以了 (这样 | f(x) - f(a) | = 2 ≧ 1.)
当 a-δ 是有理数, 取 x = a - δ/2, x 为有理数.
当 a-δ 是无理数, 我们在 (a-δ,a) 两个无理数之间找个有理
数就可以了. 因为 a > a-δ 不一样, 把 a-δ, a 写成无穷小数
形式, 并假设在小数第 N 位开始不同:
a = * . a_1 a_2 a_3 ... a_N ...
a-δ = * . a_1 a_2 a_3 ... b_N ...
那麽我们可以取 x = * . a_1 ... a_{N+1}.
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