作者a016258 (上善若水)
看板trans_math
标题Re: [张爸] 极限+积分
时间Mon Sep 27 18:59:16 2010
※ 引述《debdeb ()》之铭言:
: 1) lim (2^x-x^2)
: x→∞
: 1 1
: 2) lim ----------------- - ---------
: x→0 ln(x+√(1+x^2)) ln(1+x)
: x
: 3) ∫ ----------------------
: (x-1)^2 √(1+2x-x^2)
: 第一题我是猜无限大,不过不知道该怎麽写出计算式...
: 然後2、3题就不知道该怎麽下手了
1.
for x large , 2^x - x^2 is stricly increasing
for every m >0 , there exist k = k(m) > 0 , 2^k - k^2 = m
s,t for x > k , 2^x - x^2 > m
#
2. d/dx ( ln ( x + √(1+x^2) ) ) = 1 / √(x^2+1)
通分 => L'H
-1 -1
=> (x+1) - ( √(x^2 + 1 )
-----------------------------
ln ( x + √(1+x^2) ln(x+1)
------------------ + --------
( x + 1 ) √(1+x^2)
上下同乘 (x+1)( √(1+x^2 ) 再L'H
=> x/(√(1+x^2) - 1
---------------------------------------
x ln(√(1+x^2)
[ 1+ ---------------- ] + 1 + ln( x +1 ) ]
√(1+x^2
=> - 1/2
3. =>∫ x / [ (x-1)^2 * √( 2 - (x-1)^2 ) ] dx
x - 1 = √2 sin y
=> ∫ (1 + √2 siny)* √2 cosy
--------------------------
2 sin^2 y * √2 cosy
= ∫ 0.5 * csc^2 y + (1/√2) csc y dy
= - 0.5 * cot y + (1/√2) ln | csc y - cot y | + C
再换回 x
--
头晕目眩的时候请试着起身反转
如果这份悲痛让你痛不欲生
它也会终结别处的痛楚
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.42.185.97
1F:推 debdeb:谢谢!! 218.171.161.94 09/27 23:32
※ 编辑: a016258 (218.161.70.138), 08/17/2016 16:16:28