作者keith291 (keith)
看板trans_math
标题Re: [张爸] 级数敛散性
时间Thu Oct 7 23:10:26 2010
※ 引述《debdeb ()》之铭言：
: ∞
: Σ √(1-cos(1/n))
: n=1
: 解答为发散
: 不过我不知道要用哪个test才做得出来
: 麻烦指点一下，谢谢！
观察其泰勒展开式以搜寻灵感:
√(1-cos(1/n)) = √(1-( 1 - (1/n)^2/2! + (1/n)^4/4!-.....))
= √((1/n)^2/2! - (1/n)^4/4! .....)
≒ C/n as n 足够大 ,C is a constant
故用极限比较检验与1/n比:
√(1-cos(1/n)) 1-cos(1/n)
lim --------------- = √( lim --------------)
n →∞ 1/n n →∞ 1/n^2
-(1/n^2)sin(1/n)
= √( lim ----------------)
n →∞ -2/n^3
sin(1/n)
= √( lim ----------------)
n →∞ 2(1/n)
let t = 1/n
sin t
= √( lim --------) = 1/√2
t →0+ 2t
故原级数和Σ1/n同歛散,得原级数发散
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◆ From: 61.231.97.62
1F：→ ntust661:很棒^^ 114.45.212.25 10/09 22:47
2F：推 debdeb:谢谢，现在才看到XD218.171.161.215 11/04 17:12