作者a016258 (憨仔)
看板trans_math
标题Re: [积分] 请问这题该怎麽算
时间Wed Dec 1 15:56:52 2010
※ 引述《kensite702 (读书人)》之铭言：
: ∫(x+1)^1/3 dx
: ---------
: x+3
: 小弟刚学不久^^"希望有大大帮忙解答
讲一个大概的过程 详细的数字你就自己算了~
let x+1= u^3 dx=3u^2 du
∫ 3u^3 / (u^3 + 2 ) du = ∫ 3 - 6/(u^3+2) du
= 3u - 6 * ∫ 1/(u^3+2) du
所以後面那个会积就ok了~~
令 b = 2^(1/3)
∫ du/(u^3+2) = ∫ 1/[(u+b)(u^2 - ub + b^2 )]
p qu+r
= ∫ -------- + ------------- du ( p.q.r 常数)
u + b u^2 - ub +b^2
p( u^2 - ub +b^2) + (qu+r)(u+b) = 1
=> p+q=0 . -pb + bq + r = 0 . pb^2 + rb = 1
三个方程式可以解三个未知数，所以 p . q. r 现在是已知常数
=> ∫ p/(u+b) = p* ln(u+b) + constant
=> ∫ (qu+r)/(u^2 - ub + b^2 ) du
(q/2)(2u-b) + ( r+ qb/2)
= ∫ ---------------------------- du
(u^2 - ub + b^2 )
(q/2)(2u-b) r + qb/2
= ∫---------------- + ----------------- du
(u^2 - ub + b^2 ) (u^2 - ub + b^2 )
= (q/2) * ln(u^2 -ub + b^2) + A
A = [r +(qb/2)] * ∫ du/ (u^2 - ub + b^2 )
∫ du/ (u^2 - ub + b^2)
= ∫ du/[(u - b/2)^2 + (3b^2)/4]
2 -1 2
= ------ tan [ ----- * (u - b/2) ] + Constant (*)
√3 b √3 b
-1
(*) ∫ dx/(x^2 + a^2) = (1/a) * tan ( x/a) + Constant
这题真的好麻烦
不过真的考到好多解积分的技巧
代数变换 分数积分 分母与分子配项 反三角函数积分
刚学会遇到这麽难的题目吗@@
我记得刚学的时候
老师考 ∫sin^3 x dx
我都不会Orz...
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如果这份悲痛让你痛不欲生
它也会终结别处的痛楚
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