作者Eliphalet (真系废到冇朋友)
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标题Re: [微积] 奇怪的数列....
时间Sun Dec 26 16:52:29 2010
※ 引述《dreamingaway (Wherever I May Roam)》之铭言：
: ※ [本文转录自 Math 看板 #1D5l5n6U ]
: 作者: dreamingaway (Wherever I May Roam) 看板: Math
: 标题: [微积] 奇怪的数列....
: 时间: Sun Dec 26 15:40:30 2010
: a1 = 2
: a2 = 2 + 1/2
: a3 = 2 + 1/[2 + 1/2]
: a4 = 2 + 1/[ 2 + 1/[2 + 1/2] ]
: a5 = 2 + 1/[ 2 + 1/[ 2 + 1/[2 + 1/2] ] ]
: a6 = ..........................
: 请问收敛吗？ 请说明理由。
: (好怪的题目= =)
1
有 a_{n+1} = 2 + ----- 的关系 .
a_n
所以 , 对 n > 2 ,
1 1
| a_n - a_{n-1} | = | ---------- - ---------- |
a_{n-1} a_{n-2}
1
\le ----- | a_{n-1} -a_{n-2} |
2^2
因此 ,
1 1
|a_n - a_{n-1} | \le ----------- |a_2 - a_1| = ----------- .
2^{2n-4} 2^{2n-3}
如果 m > n ,
m
| a_m - a_n | \le Σ | a_k - a_{k-1} |
k=n+1
m 1
\le Σ -------------
k=n+1 2^{2k-3}
32 1
\le ---- -----------
3 4^{n+1}
因此 {a_n} 形成一 Cauchy sequence, 因此会收敛
( 数字好像算的怪怪的 ...)
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.113.15
1F：推 newversion:太复杂了 114.32.101.44 12/27 19:47
2F：→ newversion:数列递增且 an < 3 ==> 收敛，这样可否 114.32.101.44 12/27 19:50
3F：推 newversion:弄错，是递减 114.32.101.44 12/27 19:54
不行 绝对不是递减 按按计算机可以观察到
a_1 = 2 , a_2 = 2.5 , a_3 = 2.4 , a_4 = 2.4167 , a_5 = 2.4138 , a_6 = 2.4143
因此并不是递减 (递增) 会交错着跑
应该有 a_{2n+2} > a_{2n} , n = 1,2,3,...
a_{2n-1} < a_{2n+1} , n = 1,2,3,...
a_{2n} > a_{2n-1}, n = 1,2,3,...
( 都可以用归纳法搞定吧 )
※ 编辑: Eliphalet 来自: 122.127.116.200 (12/27 21:11)
4F：推 newversion:我想到一法，定义一个新数列 114.32.101.44 12/28 16:08
5F：推 newversion:{a_2n} , {a_2n-1} 均单调有界 114.32.101.44 12/28 16:18
6F：→ newversion:所以极限存在 114.32.101.44 12/28 16:18
7F：→ newversion:令 {b_n} = a_2n - a_(2n-1) 114.32.101.44 12/28 16:19
8F：→ newversion:{bn} -> 0 => {a_2n}极限={a_2n-1}极限 114.32.101.44 12/28 16:20