※ 引述《alasa15 (alasa)》之铭言： : a a : 1. ∫ ∫ [x^2+y^2+h^2]^(-1) dxdy, h is a constant : -a -a : a a : 2. ∫ ∫ [x^2+y^2+h^2]^(-3/2) dxdy, h is a constant : -a -a : 有一题是吴铭士400题里面求电场的积分 (213) : 因为积分区域不是圆形所以换成极座标很不好算 : 这样的题目要怎麽解?? --- 令 x = a*r*cosθ y = a*r*sinθ a a 1 S(k) = ∫ ∫ ───────── dx dy 0 0 (x^2 + y^2 + h^2)^k π/4 secθ (a^2)r π/2 cscθ (a^2)r = ∫ ∫ ──────── drdθ + ∫ ∫ ──────── drdθ 0 0 [(ar)^2 + h^2]^k π/4 0 [(ar)^2 + h^2]^k π/4 secθ 2(a^2)r = ∫ ∫ ──────── dr dθ 0 0 [(ar)^2 + h^2]^k π/4 secθ 1 = ∫ ∫ ──────── d[(ar)^2 + h^2] dθ 0 0 [(ar)^2 + h^2]^k ---- 1. π/4 S(1) = ∫ ln[ (n*secθ)^2 + 1 ] dθ , where n = a/h if h≠0 0 　　 这个定积分跟 Catalan's constant 有关 所以不确定有没有漂亮的解 若题目改成是 4*S(2) 就可以算出 closed form 了 2. π/4 1 1 S(3/2) = (-2)*∫ ──────────── - ─── dθ 0 √[ (a*secθ)^2 + h^2 ] ｜h｜ π π/4 cosθ = ─── - 2*∫ ──────────── dθ 2｜h｜ 0 √[ a^2 + (h*cosθ)^2 ] π π/4 1 = ─── - 2*∫ ─────────────── d(sinθ) 2｜h｜ 0 √[ a^2 + h^2 - (h*sinθ)^2 ] π 2 -1 ｜h｜*sinθ θ=π/4 = ─── - ───*sin [ ───────] │ 2｜h｜ ｜h｜ √(a^2 + h^2) θ=0 π 2 -1 1/√2 = ─── - ───*sin { ──────── } 2｜h｜ ｜h｜ √[1 + (a/h)^2] 原积分 = 4*S(3/2) --

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