作者yhliu (老怪物)
看板trans_math
标题Re: 反函数一题
时间Tue May 24 10:47:03 2011
※ 引述《gowiner (尧)》之铭言:
: 今天再某本书上看到的一题
: -1
: sin (sin3)
: 答案是pi-3
: 我不知道为什麽= = ((抱歉我观念不是很好
: 不是应该直接就是3吗.....................................
函数 sin(x), x in R 并非一对一, 因此它本来是不可逆
的. 所以, 为了定义 sin 的反函数, 必须限定其定义域.
sin(x), x in [-π/2,π/2] 是一对一的函数, 其值域是
[-1,1]. 因此可以定义 sin^{-1} 或名 arcsin:
arcsin: [-1,1] → [-π/2,π/2]
arcsin(x) = y if and only if
sin(y)=x and -π/2≦y≦π/2.
所以, arcsin(sin(x)) 并不一定是 x, 仅当 x 在 -π/2
至 π/2 之间时才有 arcsin(sin(x)) = x.
由於 sin(x+2nπ)=sin(x) 及 sin(π-x)=sin(x), 故
arcsin(sin(x)) = x±2nπ 或 (2n+1)π-x
视 x±2nπ 或 (2n+1)π-x 何者会落入 [-π/2,π/2].
x=3 时, π-3 在 [-π/2,π/2], 故
arcsin(sin(3)) = π-3.
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