作者yhliu (老怪物)
看板trans_math
标题Re: [单变] 一题级数
时间Tue Jun 14 19:43:22 2011
※ 引述《kane950544 (老伯公)》之铭言：
: Find the value of
: 1 1 1 1 1 1 1 1 1
: 1 + － + － - － + － + － - － +....+ －－ + －－ - － +....
: 3 5 2 7 9 4 4k-1 4k+1 2k
: 有点歪 请见谅
1+1/3+1/5+...+1/(4k+1)
= [1+1/2+...+1/(4k)+1/(4k+1)]
-[1/2+1/4+...+1/(4k)]
～ [ln(4k+1)+γ] -(1/2)[ln(2k)+γ]
其中 γ 是 Euler constant,
γ = lim [(1+1/2+...+1/n)-ln(n)]
n→∞
故
1+1/3+1/5-1/2+1/7+1/9-1/4+...+1/(4k-1)+1/(4k+1)-1/2k
= [1+1/3+1/5+...+1/(4k+1)] - [1/2+...+1/(2k)]
～ [ln(4k+1)+γ] -(1/2)[ln(2k)+γ]
-(1/2)[ln(k)+γ]
= ln(4k) -(1/2)ln(2k) - (1/2)ln(k)
= (3/2)ln(2)
故原级数收敛至 (3/2)ln(2).
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