※ 引述《qwsx51166 (bboyJ)》之铭言： : 想请问极限的两种情况我不太清楚 : 　　　　　　　1 1 　 1 : 例1: ｌｉｍ｛---+ ---+ .... + --- ｝ : 　　 n->∞ n+1 n+2 n+n : 这题虽然每项都接近０ : 但他有无限多项　所以不能都看成０ : 要用黎曼和求解 之所以不行 是因为你不知道这无限多个无穷小 会不会逐渐累积成一个可观的数 譬如说你有 1/n＋1/n＋...＋1/n n个 1/n n趋近到无穷大 很明显加起来是1 如果你有n^2个 1/n 你就会看到这些无穷小加起来以後是无穷大 但如果你有n个 1/n^2 那便会是无穷多项无穷小 加起来还是无穷小 所以我们的结论是说 光由「无穷多项无穷小」这件事 我们看不出什麽 : sin(x) : 例2: ｌｉｍ｛--------｝如果用级数法展开 : 　　 x->0　 x : 2 4 : x X : 　　= ｌｉｍ｛1－---＋---+.....｝= 1 : 　　 x->0　　 3! 5! : 为什麽用级数法後面那些无限项可以直接看成０? : 请大大帮忙解惑 谢谢!! 这是因为 不会有累积的问题 为什麽不会有累积的问题 是因为每後一项都是更高阶的无穷小 像那个第三项 x^4/5! 它是第二项的 x^2/20 倍 远远远地比第二项还小 因为x非常非常小 至於第四项 又远远远地比第三项还要小 所以根本就累积不起来 如果你一时还是难以接受它累积不起来 那我们这样讲 2 a ＋a x ＋a x ＋ ... , x->0 0 1 2 把它看成 2 a ＋ x (a ＋ a x ＋a x ＋ ... ) 0 1 2 3 我们来看括号的部份 第n项是前一项的 a_n/a_(n-1) x 倍 有限数a_n/a_(n-1)乘上无穷小x 我们知道 如果每一项都是前一项的r倍 , -1<r<1 那麽就会是一个收敛的级数 而a_n/a_(n-1) x 当然是非常接近0 距离1或-1很远 所以更会收敛 不管这个括号收敛到多少 反正就是某个有限的数 x乘上有限的数 收敛到0 所以 2 a ＋a x ＋a x ＋ ... , x->0 0 1 2 这东西就收敛到a 0 --

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