作者Eliphalet (Mournful Monday)
看板trans_math
标题Re: [微分] 101 东华 计算(3)
时间Thu Jun 11 17:58:33 2015
※ 引述《EggAche (蛋疼)》之铭言：
: A real number c such that f(c)=c is call a fixed point of the function
: f. Prove that if f is differentiable and f'(x)≠1 for all x in an
: interval I, then f has at most one fixed point in I.
: 之前在书上遇到的都是给定 x=0 x=1 的条件
: 配合具备连续性而有的中间值定理来证明,
: 今天条件只给了可微分(暗中应该也是给了连续的条件),
: 又 f'(x)≠1 就没什麽头绪了...
: 这类存在性定理的证明感觉会和均值定理有关系，
: 能给些思路吗?
1F：→ keith291 : 反证法 假如有多於一个固定点,任取其中两个06/11 16:57
2F：→ EggAche : 看到反证法我才发现题目是要证明最多只有一... 06/11 17:00
3F：→ keith291 : f(a)=a,f(b)=b,在a,b之间由均值定理必有一点f斜率1 06/11 17:00
4F：→ keith291 : 矛盾 06/11 17:01
基本上题目要你证明的思路大致如 keith291 推文所言，我这里给一个
稍微不同的证明
由你的题设， f' 要嘛是恒大於 1 ， 要嘛是恒小於 1
(假如有 [a,b] 包含於 I 使得 f'(a) < 1 < f'(b)，则 f(x)-x 在 [a,b]
的最小值一定发生在 (a,b)，因此在内部可找到一点 t 使得 f'(t) = 1
矛盾;另一情况 f'(a) > 1 > f(b) 类似)
在这种情况下，
1. 要嘛没有 fixed point (搞定)
2. 要嘛只能有一个 fixed point
假如 c 为一 fixed point，假设 f' > 1 ，则由微积分基本定理
x > c 时， f(x) > x ; x < c 时， f(x) < x
所以 f 只有 c 这个 fixed point
证明完毕
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