作者armopen (考个没完)
看板tutor
标题Re: [解题] 国中数学
时间Tue Sep 5 10:03:34 2006
※ 引述《EmaSH (Ema 婷*~~)》之铭言：
: 0.1999.....=0.2000000
: 小朋友问 明明是看起来不一样的数 为什麽会相等?
: 另外 何种有理数具有此种性质呢? why?
: 很简单的问题 可是却不知道该怎麽跟小朋友解释
这题严格说来，是一个大学观念，
基本上， 0.1999... 本质上是一个无穷级数，无穷级数众所周知定义成
部分和的极限值。
n 9 [1-(1/10)^(n+1)]
即 S_n = 0.1 + (9/100)Σ(1/10)^k = 0.1 + ----------------------
k=0 100 [1-(1/10)]
的极限值。
∞
因为定理：实数数列 {r^n} 在 -1< r < 1 时收敛，故此级数收敛。
n=1 =
特别小心的是，一般用令 x = 0.1999...，然後 10x = 1.9999...再相减的说法。
其理论事实上是建立在 {S_n} 收敛至 S 的基础上，才有 {c S_n} 收敛至 cS。
这个问题说明了一件事，数线上的点直觉上都可以用小数去近似，
点的存在性依赖於实数的完备性，同一个点可以用不同的小数数列作逼近，但是
「两个不同的实数列可以有相同的最小上界」，此最小上界刻画了点的概念。
此说法有以下定理「对任意实数 x ，存在有理数列 r_n 使 r_n < x < r_n + (1/10)^n」
=
支持，而此定理的另一个形式是将 < 和 < 符号的位置互换。
=
则同样是 1/8 就有 0.125 和 0.124999... 两种表示法，但最小上界都是 0.125。
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