※ 引述《yonex (戴奥尼索斯)》之铭言： : ※ 引述《dreamaster (整理房间~~~~)》之铭言： : : 有几点真的想不太通： : : 1.设二正数a.b的算术平均为A，几何平均为G，调和平均为H，则AH=G的平方， : : 且A大於等於G大於等於H(G=√ab)。 : : 什麽是调和平均呢?又为什麽G会大於等於H呢？ : 统计学、数学分析，本质上有很大的成分是估计上下界的精神 : 因此，不等式在统计学与分析学上，可能比等式更具有重要而有效的地位 : a、b必须正数 : 先证A≧G : a＋b (√a－√b)^2 : ------ － √ab＝ ------------- : 2 2 : 再证G≧H（利用A≧G） : 1 2 : √ab＝ --------------≧ ------------------ : 1 1 1 1 : √（--- ---） （---＋ ---） : a b a b : 这是最初等的证明法，本题有比较高级的证明，这里就不详述了 : 方法是使用对数函数的凸性质与微积分 给定两正数a,b，定义以下平均数 a^2+b^2 二次幂平均数 QM＝√（---------） 2 算数平均数 AM＝a＋b/2 几何平均数 GM＝√ab 调和平均数 HM＝2ab/(a+b) 这四个平均数有以下三种性质（都是平均数的一般性质） 1.每个平均数皆大於a、b中的较小数，而小於较大数 2.等式成立充要条件为a＝b 3.平均数和变数具有相同伸缩率，亦即：A=ta B=tb 则A与B的平均数会放大t倍 可再定义 2(ab)^2 二次调和幂平均 HQM＝√（---------） a^2+b^2 可证明（自己就可以证明，大概是国中数学的程度，非常简单） HQM≦HM≦GM≦AM≦QM 现在重点是这五者的几何意义，若用以下的方法，其实不难看出来.... 我的方法是这样的... 当我们给定一边长为a,b的矩形 一个边长为x的正方形（x视情况而定） 1.若两者有相同边长 2(a+b)＝4x x＝AM 2.若两者有相同面积 ab＝x^2 x＝GM 3.若两者有相同对角线 √（a^2+b^2）＝√2x x＝QM 4.若两者有相同「面积－边界长比率」 2ab ab/2(a+b)＝x^2/4x x＝------＝HM a+b 5.若两者有相同「面积－对角线比率」 则x＝HQM 证明不等式并非难事，但是以上五者的几何意义了解後 这不等式的意义就会相当明显（一比较即可得） (a) GM≦AM意指：在边界长固定的矩形中，以正方形的面积为最大 (b) AM≦QM意指：在边界长固定的矩形中，以正方形的对角线为最小 (c) HM≦GM意指：在面积固定的矩形中， 以边长为√ab的正方形具有最大的「面积－边界长比率」 (d)HQM≦HM意指：在「面积－边界长比率」固定的矩形中 以边长为2ab/(a+b)的正方形具有最大「面积－对角线比率」 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.73.243.151 ※ 编辑: yonex 来自: 203.73.243.151 (10/27 23:57)