※ 引述《k831457 (learner)》之铭言： : 连接每日股票加权指数的走势线图，成为一锯齿状图， : 其可否构成一可微函数？说明理由？ : 请教一下，谢谢 分两个level回答， 第一段是高中生层次，也可能是原PO想要的答案 而第二段，主题非常的庞大，写成一本书都毫不为过 在假设读者有一点数学素养的前提下（类似工程数学），不得不略过许多细节 我以为对数学（科学）有点兴趣、热诚的人，真的可以咬牙看一下， 1. 在大一初等微积分里面， 区间一次可导的意思，指的就是区间内「差商的极限存在」 股票走势图是人为的连续函数，存在可数个corner（锯齿图的尖点都是corner） 在该点临域，左导数与右导数同时存在并相等，是极限存在的充要条件 显然corner邻域差商的极限不存在，所以股票走势线图并非处处可导 2. 我对自己发誓， 在可能的范围里我要把以下的东西写得尽量简单， 用到最少的数学，讲述最通俗而也还算有趣的一些观念 声明在先啦！本人并没有受过专业机率与统计的训练 我走的是比较偏纯焠数学分析的路线， 这个论题显然并非我的专长（并且也太大了） 一个外行人实在不应该在这里胡说八道， 但对「非线性现象」，以及前一篇文章所提到关於「不可导微点」， 继而产生的诸多联想....我有意要在这里跟大家分享.... 讲一点点自己对於非线性现象所认知到的皮毛 由此，这篇文章容或尚存可取之处吧... OK～对於不可导微有进一步的认识，是我大二在研读高等微积分时， 两条着名的例子引起我不小的震撼， 一个是1930年Van der Waerden所构造的处处不可导微之连续函数 一个是Peano曲线 这两个个例子我以为研究过他们的人，肯定都感到非常惊异， 从而沿展出一系列的理论， 便是最近几十年方兴未艾的Fractal Analysis的基础之一 (这两个例子是所谓的fractal set) 很长的时间以来，人们只重视那些可以用经典微积分进行研究的函数类 像是White Mountain function、Waerden or Weierstrass functions、 Peano Curve等不可思议的古怪函数，都是处处不可导的，微分学完全无能为力 但是近代的研究所涉猎到自然界基本的现象， 大都是随机的、处处不可导微的、不光滑不规则的几何构件 例如：粒子的Brownian motion、turbulent、 高度无规则的材料裂纹、云彩边界、肿瘤边界、纤维化组织、破碎海岸线等等 Fractal Analysis理论是目前「比较」可以处理非线性混沌现象的分析工具 但是这理论处理的对象，无论是在大域、局部都错综复杂， 以致无法满足简单方程组的解集，甚至无法用经典数学语言描述， 很多人的努力似乎遇到瓶颈，就目前看来也不怎麽乐观啦.... Fractal的东东相当有趣，因为我是学分析的，这方面我认识比较多一点点， 在这里我却不打算再多说了，有机会我倒愿意写些这方面的科普文章 有兴趣的人可去借阅K.J.Falconer的名着---碎形几何—数学的基础与应用， 这是一本不可多得的佳作，提供给大家参考..... 现在要回到原来的主题， 股票金融的数学分析，这是一门新兴的数学领域，用到的工具很多 包括接下来会提到的Stochastic Analysis or Calculus，也是一种非线性分析的方法 在这个领域里，微分与积分是依据stochastic process而定义， 这不是三言两语可讲清楚的... （stochastic process是一门机率学里的专门学问， measure theory、real analysis、probablity theory大致上都是必备基础） 这方面我的训练很短缺，而在股票金融分析方面，我更是连制造错误的资格都没有.... 不过这并非完全是坏消息， 因为我是外行人，外行人讲话有他的好处，那便是老妪可解 财务工程，股价这种随机过程是一种非线性行为 理论分析的出发点大致上是从Brownian motion开始， （财务界以Geometric Brownian motion 来描述股价、油价、汇率等财务上重要变数的时间序列） 机率数学家有一批是研究Stochastic mechanics， Brownian motion是重要的例子 国内数学家，像是过去的杨维哲、还有蔡聪明、张志中等都研究过这方面的主题 无论是股票价格、Brownian motion...等都是跟随着Markov process 在这个stochastic process里，Martingale Representation Theorem尤其重要 这理论在在收敛定理、停时理论、机率论、数理统计等领域都有重要应用， 业已发展到相当程度，Brownian motion、股票价格都是一种martingale 伊藤stochastic integral 是令at least one random variables X and Y 变数为一般的martingale 从而建构出这种stochastic process下的calculus 他的微分方程式（geometric Brownian motion）在机率论里面占有最重要的地位 dX_t＝a(t,X)dt＋σ(t,X)dW_t X_0＝ξ 其中W_t为Brownian motion，为random variable 财务研究人员开始将股票价格的变化， 与数学上布朗运动所描述的微粒子动态轨迹的数学模型相互连接， 之後，以布朗运动来描述股票价格的动态轨迹， 成为财务上连续时间(Continuous-Time Finance)研究的重要基础。 而最重要的偏微分方程式无疑是Black-Scholes-Merton偏微分方程式。 其实就是把geometric Brownian motion变数代以财务金融指数， dX_t为瞬间股价之变动，σ是股票的瞬间波动度，W为Wiener process a是股票的瞬间期望报酬 将微分方程配合Ito's Lemma (这Lemma其实就是数学上二阶泰勒展开式在财务上的应用，有测不准原理的精神)， 总之，经过一番推导之後得到Black-Scholes-Merton偏微分方程 （过程用到一些金融学的东东，像是Delta Hedging Ratio等，我毫无概念...>"<） 这个方程式看不懂没关系，这不是我文章的本意， 但为求完整性还是把他写下来，此方程意外的跟某物理现象有极神似的类比 dV 1 d^2V dV ---＋---(σS)^2 ---- ＋rS ----－rF＝0 dt 2 dS^2 dS 这就是财务上着名的Black-Scholes-Merton偏微分方程式。 研究微分方程或物理的人，很容易直觉到reaction-convection-diffusion间的关连 在B-S-M Eq.中，前两项对应到扩散（diffusion） 第三项V对S的一次微分，可视为传达（convection） 最後一部分可视为反应项（reaction） 整体来看，这就是个完整的reaction-convection-diffusion model， 事实上，Black-Scholes-Merton偏微分方程式 就像是污染物随着河流扩散，而有部分被河底泥沙吸收的物理模型： 水中的扩散为扩散项、水流为传达项、河底泥沙吸收为反应项。 这种细腻的关联一定不可能只是巧合， 但是想一想Black-Scholes-Merton方程式的源由，也就不至於让人感到太大的意外 Black-Scholes-Merton偏微分方程式的应用相当广，什麽选择权呀有的没的... 但这不是我的本行，也不是我关心的重点，毕竟我是一个搞分析的学生 在这里我只是想提几个非线性分析的方法， 给大家个窗口「以管窥天」一下 而这些现象并不是经典微积分可以解决的， 二十世纪以降.... 许多的数学家做出伟大的贡献，累积太多成就，接近言语无法形容的地步 只是，非线性浑沌世界里，目前尚未出现一个牛顿来拨开云雾... Navior-Stokes Eq.还是未解，不是吗？ 许多研究者，搞理论的、做实验的，都在努力拼凑出大自然的真相... 在谜底揭晓之前，理工科的学生可说是「受益」不少呀... 要写篇毕业论文搞个学位实在不是件难事，弄一些边界条件来作作数值分析... Finite Element、Finite Volume一下就可以升等搞学位了， 这种老方法对付新问题是不可能推动科学革命的巨轮 巨轮只能由巨人的genius idea来推动， 三百年前的人若见识当今科技，想必是瞠目结舌， 这不得不感谢微积分的发明解开大自然的奥秘，使文明「百日锐於千载」 想像非线性理论的「金钥匙」若一旦被找到，这世界会有怎样翻天覆地的巨变呢？ Newton、Euler、Gauss、Riemann、Maxwell、Einstein... Their Great Moments animate scientific revolutions but humdrum like us may turn out paper-pollution merely... 啧啧～～瞻仰科学巨人的伟大与认识自己的渺小，这也是蛮重要的体会呀，不是吗？ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.70.88.163 ※ 编辑: yonex 来自: 203.70.88.163 (11/11 07:24)