作者blackpiano (令人失望的现实)
看板tutor
标题Re: [解题] 高一 数学 三角函数
时间Fri Jun 13 20:48:26 2008
※ 引述《asasdf (spiderman)》之铭言：
: 1.年级：高一
: 2.科目：数学
: 3.章节：三角函数
: 4.题目：三角形ABC
: 角A,角B,角C 的对边长度分别是 a,b,c
: 其中2b=a+c
: 求tan(A/2)*tan(C/2)=?
果然是要用正弦定理XD
=> 2 * sinB = sinA + sinC
=> 2 * sin(A+C) = sinA + sinC
=> 2 * sinA*cosC + 2 * cosA*sinC = sinA + sinC
=> 2 * [2*sin(A/2)*cos(A/2)] * [cos^2(C/2)-sin^2(C/2)]
+ 2 * [cos^2(A/2)-sin^2(A/2)] * [2*sin(C/2)*cos(C/2)]
= 2*sin(A/2)*cos(A/2) + 2*sin(C/2)*cos(C/2)
∵A/2与C/2均不可能为90度
∴cos(A/2)*cos(C/2)必不为0
∴可两边同除 2*cos^2(A/2)*cos^2(C/2)
=> 2 * tan(A/2) * [1 - tan^2(C/2)]
+ 2 * [1 - tan^2(A/2)] * tan(C/2)
= tan(A/2)/cos^2(C/2) + tan(C/2)/cos^2(A/2)
问题出在这 刚刚少了两个分母XD
= tan(A/2) * [1+tan^2(C/2)] + tan(C/2) * [1+tan^2(A/2)]
令tan(A/2) = x
tan(C/2) = y
=> 2x(1-y^2) + 2(1-x^2)y = x(1+y^2) + y(1+x^2)
2x - 2x(y^2) + 2y - 2(x^2)y = x + x(y^2) + y + (x^2)y
=> x + y = 3xy(x + y)
∵ 0度 < A/2, C/2 < 90度
∴ tan(A/2) + tan(C/2) ≠ 0
∴可同除(x+y)
=> tan(A/2)*tan(C/2) = xy = 1/3
: 5.想法：看到题目一开始我的想法是...
: step1:用余弦定理求出cosA及cosC(其中代入2b=a+c的条件)
: step2:然後再求出cos(A/2)及cos(C/2)
: step3:然後再求出tan(A/2)及tan(C/2)
: 可是...在step1就发现式子好复杂 囧
: 看来这题不是这样做的@@ 还是我化简式子的技巧太差呢@@?
: 烦请高手解答...谢谢!!!
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.78.47
1F：推 ROBO:为何我算出来是 1/3 06/13 21:05
2F：→ blackpiano:疑 这样欧 那我再检查看看XD 06/13 21:10
※ 编辑: blackpiano 来自: 140.114.78.47 (06/13 21:32)
3F：推 asasdf:啊啊喔>< 太感激您了 06/14 01:29